Équation (2) - Corrigé

Énoncé

En utilisant un argument et le module de $z$ , résoudre l'équation $z^4+4=0$ .

Solution

On note $r=\left|z\right|$ et $\theta$ un argument de $z$ . On a alors :
$\begin{array}{rl}{z}^4+1=0⟺z^4=-4⟺\{\begin{array}{l}\left|z^4\right|=|-4|\\ \arg (z^4)\equiv \arg (-4)[2\pi ]\end{array}& ⟺\{\begin{array}{c}{\left|z\right|}^4=4\\ 4\arg (z)\equiv \pi [2\pi ]\end{array}\\ & ⟺\{\begin{array}{c}{r}^4=4\\ 4\theta \equiv \pi [2\pi ]\end{array}\\ & ⟺\{\begin{array}{c}r=\sqrt[4]{1}=\sqrt{2}\text{ car }r\in \mathbb{R}\\ \theta \equiv {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]\end{array}\end{array}$

On en déduit que l'équation $z^4+4=0$ a quatre solutions :

•  cas où $r=\sqrt{2}$ et $\theta \equiv {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ :  $z=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4})=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})=1+i$  ;
•  cas où $r=\sqrt{2}$ et $\theta \equiv {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ : $z=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}})=\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=-1+i$  ;
•  cas où $r=\sqrt{2}$ et $\theta \equiv {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ :  $z=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{4}})=\sqrt{2}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=-1-i$   ;
•  cas où $r=\sqrt{2}$ et $\theta \equiv {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ : $z=\sqrt{2}(\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{4}}+i\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{4}})=\sqrt{2}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-i{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=1-i$ .

Finalement :  $S=\{1+i;1-i;-1+i;-1-i\}$ .